Александр Быков родился в Ленинграде. В 2017 году окончил Санкт-Петербургскую консерваторию им. Н. А. Римского-Корсакова (класс А. А. Исаева), продолжил обучение в консерватории в качестве ассистента-стажера (класс А. В. Казакова). В 2019 – 2021 годах обучался в аспирантуре Высшей школы музыки Люцерна (Швейцария) по классу гобоя (класс И. Подъёмова).

Участвовал в мастер-классах таких выдающихся гобоистов, как Морис Бург, Давид Вальтер, Франсуа Лёлё, Томас Индермюлле, Грегор Витт, Ласло Хадади, Алекс Кляйн, Гордон Хант и др.
Ведет активную концертную деятельность в России и за рубежом. В качестве солиста выступал в Германии, Франции, Нидерландах, Швейцарии, Бельгии и других странах Европы.
Исполнил ряд премьер произведений для гобоя, в их числе Концерт для гобоя с оркестром Д. Анзарокова на сцене Берлинского Концертхауза в 2018 году.

Как солист в составе оркестров и ансамблей выступал на таких площадках, как Консертгебау в Амстердаме, Венский Музикферайн, Берлинская филармония, Венский Концертхауз, Эльбская филармония (Гамбург), Берлинский Концертхауз, Большой зал Санкт-Петербургской филармонии, Концертный зал Мариинского театра, Капелла Санкт-Петербурга, Зал Зарядье, Большой зал Московской консерватории и др.

С 2013 года является солистом симфонического оркестра Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга.
С 2022 года является солистом оркестра musicAeterna.
В качестве приглашённого гобоиста выступает во многих оркестрах, в числе которых ЗКР Академический симфонический оркестр Санкт-Петербургской филармонии, камерата Королевского оркестра Концертгебау( Амстердам) и др.